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El problema de π-geografía y el problema de Hurwitz The π-geography problem and the Hurwitz problem

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Author(s): Carlos A Cadavid-M. | Juan D. Vélez-C.

Journal: Ingeniería y Ciencia
ISSN 1794-9165

Volume: 5;
Issue: 9;
Start page: 91;
Date: 2011;
Original page

Keywords: recubrimiento ramificado | valor crítico | característica de Euler | fórmula de Riemann–Hurwitz | Hurwitz problem | monodromía

ABSTRACT
Sea d ≥ 2 un entero y  una partición de d. En este artículo se estudia el problema de para qué pares de enteros (a, b) existe un recubrimiento ramificado F : ∑ → D2 = {z ∈ C : |z| 6 ≤ 1} que tenga a valores críticos, x(∑) = −b, y tal que la monodromía que se obtiene cuando se recorre la frontera de D2 en sentido positivo pertenece a la clase de conjugancia en el grupo simétrico Sd determinada por la partición π. Se estudian cuatro variantes de este problema: i) sin requerir conexidad del dominio, ii) requiriendo conexidad del dominio, iii) sin requerir conexidad del dominio, pero exigiendo que el recubrimiento sea semiestable, iv) requiriendo que el dominio sea conexo y que el recubrimiento sea semiestable. Se obtienen soluciones completas de las primeras dos variantes, y se obtiene una solución parcial de las variantes restantes. Además se explica cómo el interés por estos problemas surge del estudio de una pregunta análoga para funciones cuyo dominio es 4-dimensional.Let d > 2 be an integer and let π be a partition of d. This article aims to determine for which pairs of integers (a, b) there exists a branched cover F : Σ → D  2 = {z ∈ C : |z| 6 1} with χ(Σ) = −b and having a critical values, such that the monodromy obtained when traversing the boundary of D 2 once and positively belongs to the conjugacy class in the symmetric group Sd determined by π. Four variants of this question are studied: i) without requiring the connectedness of the domain, ii) requiring the connectedness of the domain, iii) without requiring the connectedness of the domain but requiring the semistability of the map, iv) requiring the connectedness of the domain and the semistability of the map. Complete solutions are obtained of the first two variants, and partial solutions are obtained of the remaining variants. The article also explains how these questions arise when analogous questions for maps whose domain is four dimensional are studied.
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