Disseminating quality controlled scientific knowledge

# Motion equation of a finite dynamic elastic plane lineal element plane lineal element Ecuación del movimiento de un elemento ﬁnito lineal plano elástico dinámico con ocho grados de libertad

Author(s): Américo G Hossne

Journal: Ingeniería y Ciencia
ISSN 1794-9165

Volume: 6;
Issue: 12;
Start page: 65;
Date: 2010;
Original page

Keywords: Principio de Hamilton | elemento finito lineal plano elástico dinámico | mecanismos elásticos de cuatro barras | lagrangiana | matriz de masas | matriz de rigideces y matriz giroscópica.

ABSTRACT
A lineal finite element with constant traverse section, it can adopt any orientation in the plane, and their ends or nodes tie it to the rest of the elements. The kinetic energy (T ) and potential (V ) of a dynamic elastic element are the basement in the implementation of the Hamilton principle for the definition of a finite element. The definition of the kinetic energy and potential is the first step for the preliminary variational formulation to the enunciation for finite elements that it is used to solve, say, the problems of mechanisms that move in the plane using the Hamilton equation. The general objective consisted on defining the equation of the movement of a finite lineal dynamic elastic plane element using the equation of Hamilton, starting from the lagrangiana (T − V ) obtained with the use of a polynomial of fifth and first degree, with eight degrees of freedom, four in each node that represented the deformations: axial (u(x)), traverse (w(x)), slope ((dw(x)/dx)) and bend ((d2w(x)/dx2)). The deformation due to traverse shearing, insignificant with respect to flexional and axial deformations, the rotational inertia and the frictional forces in the nodes, were underrated with the purpose of producing a friendly element. The specific objectives were to take place: (a) the translational mass matrix [MD], (b) the translational gyroscopic matrix [AD], (c) the translational total rigidity matrix [KD], and (d) the deformation vector (S). As a result the movement equation of a finite lineal dynamic elastic plane element was forged [MD]( ¨ S) − 2¨[AD]( ˙S ) + {[K] − ˙2[MD] − ¨[AD]}(S) = (Q) . On concluded that the equation obtained variationally with the application of the Hamilton Principle is the state–of–the–art pattern, and that the procedure can be used when it is required to increase the number of the pattern freedom degrees.Un elemento finito lineal con sección transversal constante puede adoptar cualquier orientación en el plano y sus extremos o nodos lo ligan al resto de los elementos. La energía cinética (T ) y potencial (V ) de un elemento elástico dinámico son el basamento en la implementación del principio de Hamilton para la definición de un elemento finito. La definición de la energía cinética y potencial es el primer paso para la formulación variacional preliminar a la enunciación por elementos finitos que se utiliza para resolver, dígase, los problemas de mecanismos que se mueven en el plano utilizando la Ecuación de Hamilton. El objetivo general consistió en definir la Ecuación del movimiento de un elemento finito lineal plano elástico dinámico utilizando la Ecuación de Hamilton, a partir de la lagrangiana (T –V ) obtenida con el uso de un polinomio de quinto y uno de primer grados, con ocho grados de libertad, cuatro en cada nodo, que representaron las deformaciones: axial (u(x)), transversal (w(x)), pendiente ((dw(x)/dx)) y curvatura ((d^2w(x)/dx^2)). La deformación debido al cizalleo transversal, insignificante comparado con la deformación flexional y la axial, la inercia rotatoria y las fuerzas friccionales en las uniones, fueron desestimadas con el fin de producir un elemento amigo. Los objetivos específicos fueron producir: (a) la matriz de masa de traslación [MD], (b) la matriz giroscópica de traslación [AD], (c) la matriz de rigidez total de traslación [KD], y (d) el vector de deformación (S). Como resultado se forjó la Ecuación del movimiento de un elemento finito lineal plano elástico dinámico[M_D](S'') − 2theta''[A_D](S') + {[K] − heta'^2 [M_D] −heta''[A_D]}(S) = (Q) .Se concluyó que la Ecuación obtenida variacionalmente con la aplicación del principio de Hamilton es un modelo cuyo procedimiento puede ser utilizado cuando se requiera aumentar el número de grados de libertad del modelo.