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Regularity issues for local minimizers of the Mumford & Shah energy in 2D Questioni di regolarità per minimi locali del funzionale di Mumford & Shah in dimensione 2

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Author(s): Matteo Focardi

Journal: Bruno Pini Mathematical Analysis Seminar
ISSN 2240-2829

Volume: 3;
Issue: 1;
Start page: 14;
Date: 2012;
Original page

Keywords: Mumford & Shah variational model | local minimizers | density lower bound | higher integrability of the approximate gradient regularity of the singular set

ABSTRACT
We review some issues about the regularity theory of local minimizers of the Mumford & Shah energy in the 2-dimensional case. In particular, we stress upon some recent results obtained in collaboration with Camillo De Lellis (Universität Zurich). On one hand, we deal with basic regularity, more precisely we survey on an elementary proof of the equivalence between the weak and strong formulation of the problem established in [16]. On the other hand, we discuss ne regularity properties by outlining an higher integrability result for the density of the volume part proved in [17]. The latter, in turn, implies an estimate on the Hausdor dimension of the singular set of minimizers according to the results in [2] (see also [18]).Verranno presentati alcuni aspetti della teoria di regolarità dei minimi locali del funzionale di Mumford & Shah in dimensione 2, ottenuti recentemente in collaborazione con Camillo De Lellis (Università di Zurigo). In particolare, si discuteranno un risultato di regolarita bassa, piu precisamente l'equivalenza fra la formulazione debole e quella forte del problema dimostrata in [16] e un risultato di regolarità alta, o meglio la maggiore integrabilità della densitàa del termine di volume dei minimi provata in [17]. Da quest'ultima segue una stima sulla dimensione di Hausdorff del relativo insieme singolare grazie ai risultati contenuti in [2] (vedi anche [18])
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